petite question de Khôlle de maths

Quelle est la définition d' un espace vectoriel?
Comment montre-t-on qu' une famille de vecteurs est une base( plusieurs méthode à donner)?

Soit f l' applicaton de E3 dans E2
E3 (e1,e2,e3) --> E2(e'1,e'2) \ f(e1)= -e'1 + 2e'2
f(e2)= 3e'1+ e'2
f(e3)= e'2


Donner une base de ker(f)
Kerf <=> {v in f} \ f(v)=0E2

<=> v(x,y,z) in f \ f(x.e1+y.e2+z.e3)=0E2
<=> xf(e1)+yf(e2)+zf(e3)=0
<=>x(-e'1+2e'2) +y(3e'1+e'2) +z(e'2)=0
<=> e'1(-x+3y)+ e'2(2x+y+z)=0 or e'1 et e'2 sont différents de 0

<=> -x+3y=0 <=> x=y=z
2x+y+z=0


On a donc une base de ker(f) correspond à tout vecteur de coordonnées (x,x,x).